Чему равен синус 1 градуса
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 1° эта точка — (0,9998; 0,0175), поэтому sin 1° ≈ 0,017452, а cos 1° ≈ 0,999848. Точной записи через квадратные корни у синуса 1 градуса нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,0175.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 1°: tg 1° ≈ 0,017455, ctg 1° ≈ 57,289962. Проверка по основному тождеству: sin² 1° + cos² 1° = 0,000305 + 0,999695 = 1.
cos 1° ≈ 0,999848
Как получить значение
Угол 1° не кратен 3°, поэтому точной записи синуса через квадратные корни нет. Для малых углов работает правило sin x ≈ x, где x — угол в радианах: 1° = 0,017453 рад, а sin 1° ≈ 0,017452 — первые знаки совпадают. Погрешность такого приближения — примерно x³/6, для 1° это 8,86 · 10⁻⁷.
Вручную синус считают по ряду Тейлора sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − …, где x — угол в радианах. Для 1°: x = 0,017453; x³/6 = 8,86 · 10⁻⁷; x⁵/120 = 1,35 · 10⁻¹¹. Сумма трёх членов — 0,01745241, точное значение — 0,01745241: разница меньше 10⁻¹⁰, то есть три члена дают восемь верных знаков.
Четверть и знаки
Угол 1° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 1° = cos 89°, cos 1° = sin 89°, tg 1° = ctg 89°. Поэтому в таблицах значения для углов больше 45° читают снизу вверх.
Функции двойного угла: sin 2° = 2 sin 1° cos 1° = 0,034899, cos 2° = cos² 1° − sin² 1° = 0,999391. Если угол 1° отложить по часовой стрелке, получится −1°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−1°) = −0,017452, cos(−1°) = 0,999848.
1 градус в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 1° = 1 · π/180 = π/180 рад ≈ 0,017453 рад. Это 0,0028 полного оборота, или 1,1111 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 1° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(1)), в JavaScript — Math.sin(1 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 1°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 1° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 1° = 4 · 0,0175 ≈ 0,07 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 1° ≈ 4 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 1° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 1° = 3 ÷ 0,0175 ≈ 171,87 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 1°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 1° = 9,81 · 0,0175 ≈ 0,17 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 1° ≈ 9,81 Н.
Уклон. Скат под углом 1° к горизонту — это уклон tg 1° × 100 ≈ 1,7 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
