Основные углы: точные значения
Таблица синусов и косинусов нужна в каждой задаче по тригонометрии: в школе — для точного ответа вроде «√3/2», в физике и черчении — для десятичного значения. Синус угла — это ордината точки единичной окружности, косинус — абсцисса, тангенс — их отношение sin ÷ cos, котангенс — обратное отношение. Ниже — точные значения для углов, кратных 30° и 45°, от 0 до 360°; по ссылке в первом столбце — подробный разбор каждого угла.
Прочерк означает, что функции в этой точке нет: тангенс не существует при 90° и 270°, где косинус равен нулю, котангенс — при 0°, 180° и 360°, где нулю равен синус.
Как запомнить таблицу синусов
Удобнее всего запоминать синусы пяти углов первой четверти как дроби с одинаковым знаменателем: sin 0° = √0/2, sin 30° = √1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = √4/2. Под корнем стоят числа 0, 1, 2, 3, 4 — остаётся упростить: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √4/2 = 1. Косинусы тех же углов — тот же ряд в обратном порядке, потому что cos α = sin(90° − α).
Тангенс считают делением: tg 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = 1/√3 = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Котангенс — перевёрнутый тангенс. Для углов больше 90° ничего нового запоминать не нужно: их значения повторяют значения острых углов, меняется только знак — об этом раздел «Знаки и приведение».
С ростом угла от 0° до 90° синус и тангенс растут, косинус и котангенс убывают. Если в ответе cos 60° больше cos 30°, где-то перепутаны строки.— Правило для первой четверти
Точные значения для 15°, 18°, 36°, 54°, 72° и 75°
Кроме углов, кратных 30° и 45°, точную запись в квадратных корнях имеют все целые углы, кратные 3°. На практике встречаются 15° и 75° (формулы синуса разности и суммы: 45° − 30° и 45° + 30°) и углы правильного пятиугольника 18°, 36°, 54°, 72°, где появляется √5 — родственник золотого сечения φ = (1 + √5)/2.
Синусы остальных целых углов — 1°, 10°, 20°, 40° и других, не кратных 3°, — квадратными корнями не выражаются, поэтому в таблицах их дают десятичными дробями.
Таблица синусов и косинусов от 0 до 90° с шагом 1°
Значения округлены до четырёх знаков после запятой — как в школьных таблицах. Для углов от 91° до 360° используйте формулы приведения или переключатель в калькуляторе выше.
Знаки по четвертям и формулы приведения
Единичную окружность оси делят на четыре четверти. В первой (0°–90°) положительны все функции. Во второй (90°–180°) положителен только синус, в третьей (180°–270°) — тангенс и котангенс, в четвёртой (270°–360°) — косинус. Это видно по координатам точки: во второй четверти она левее оси Oy, поэтому косинус — абсцисса — отрицателен.
Чтобы найти значение для угла больше 90°, его сводят к острому. Если угол записан через 180° или 360° (например, 210° = 180° + 30°), название функции сохраняется: sin 210° = −sin 30° = −1/2. Если через 90° или 270° (120° = 90° + 30°), функция меняется на кофункцию: sin 120° = cos 30° = √3/2. Знак ставят по четверти исходного угла. Школьная подсказка — «правило лошади»: у вертикальной оси голова кивает «да» (функция меняется), у горизонтальной качает «нет» (остаётся).
Как пользоваться таблицей Брадиса
В четырёхзначных таблицах В. М. Брадиса угол задан в градусах и минутах: строка — градусы, столбец — минуты через 6′ (0′, 6′, 12′ … 54′). Если минут не кратно шести, берут ближайший меньший столбец и добавляют поправку из правых столбцов 1′, 2′, 3′ — она записана в единицах четвёртого знака.
Пример: sin 20°15′. В строке 20° и столбце 12′ стоит 0,3453. Не хватает 3′ — поправка 8, то есть 0,0008. Итог: 0,3453 + 0,0008 = 0,3461. Точное значение — 0,346117, так что четыре знака верны. У косинуса и котангенса с ростом угла значение убывает, поэтому поправку для них вычитают. В калькуляторе выше режим «Таблица Брадиса» строит такую таблицу для любой функции и диапазона.
Градусы и радианы
В математическом анализе и программировании углы измеряют в радианах: полный оборот — 2π, прямой угол — π/2, 1° = π/180 ≈ 0,017453 рад. Функции Math.sin в JavaScript и SIN в Excel принимают радианы, поэтому синус 30° в Excel записывают как =SIN(РАДИАНЫ(30)). Соответствие для основных углов — во втором столбце первой таблицы: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
