Чему равен синус 240 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 240° эта точка — (−0,5000; −0,8660), поэтому sin 240° = −√3/2 ≈ −0,866025, а cos 240° = −1/2 = −0,5. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 240°: tg 240° = √3 ≈ 1,732051, ctg 240° = √3/3 ≈ 0,57735. Проверка по основному тождеству: sin² 240° + cos² 240° = 0,75 + 0,25 = 1.
cos 240° = −1/2 = −0,5
Как получить значение
Угол 240° больше прямого, поэтому его сводят к острому углу 60° по формуле приведения: 240° = 180° + 60°. При переходе через 180° или 360° название функции сохраняется, а знак берут тот, какой у исходной функции в третьей четверти. Получаем sin 240° = −sin 60° = −√3/2, cos 240° = −cos 60° = −1/2.
Откуда берётся значение для 60°. Это второй острый угол того же треугольника, что и у 30°: половины равностороннего треугольника со стороной 2. Катет против угла 60° — √3, гипотенуза — 2, поэтому sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2.
Четверть и знаки
Угол 240° лежит в третьей четверти (от 180° до 270°). Здесь синус отрицателен, косинус отрицателен, тангенс и котангенс положительны. Опорный острый угол — 60°: модули всех функций угла 240° совпадают с функциями 60°, подробно — на странице «синус 60 градусов».
Формулы приведения для 240°
Угол 240° можно записать двумя способами — через горизонтальную ось (180° + 60°) и через вертикальную (270° − 30°). В первом случае функция сохраняет название, во втором меняется на «кофункцию»: синус на косинус, тангенс на котангенс. Знак в обоих случаях — тот, какой у исходной функции в третьей четверти. В школе это запоминают как «правило лошади»: у вертикальной оси (90°, 270°) голова кивает «да» — функция меняется, у горизонтальной (180°, 360°) качает «нет» — остаётся.
240 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 240° = 240 · π/180 = 4π/3 рад ≈ 4,18879 рад. Это 0,6667 полного оборота, или 266,6667 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 240° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(240)), в JavaScript — Math.sin(240 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 240°
Поворот точки. Точку на окружности радиусом 5 см с центром в начале координат повернули от оси Ox на 240° против часовой стрелки. Её координаты — x = 5 · cos 240° = −2,5 и y = 5 · sin 240° = −4,33. Так же поворачивают фигуры в компьютерной графике и считают положение стрелки прибора.
Проекции вектора. Сила 100 Н направлена под углом 240° к оси Ox. Её проекции на оси: Fx = 100 · cos 240° = −50 Н, Fy = 100 · sin 240° = −86,6 Н. Знаки проекций совпадают со знаками косинуса и синуса угла 240°.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
