Чему равен синус 20 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 20° эта точка — (0,9397; 0,3420), поэтому sin 20° ≈ 0,34202, а cos 20° ≈ 0,939693. Точной записи через квадратные корни у синуса 20 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,3420.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 20°: tg 20° ≈ 0,36397, ctg 20° ≈ 2,747477. Проверка по основному тождеству: sin² 20° + cos² 20° = 0,116978 + 0,883022 = 1.
cos 20° ≈ 0,939693
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 20° не кратен 3°, но утроенный угол 60° — «табличный»: sin 60° = √3/2. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 20° — корень кубического уравнения:
Вручную синус считают по ряду Тейлора sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − …, где x — угол в радианах. Для 20°: x = 0,349066; x³/6 = 0,00708877; x⁵/120 = 4,32 · 10⁻⁵. Сумма трёх членов — 0,34202027, точное значение — 0,34202014: разница 1,25 · 10⁻⁷ — чем больше угол, тем больше членов ряда нужно.
Четверть и знаки
Угол 20° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 20° = cos 70°, cos 20° = sin 70°, tg 20° = ctg 70°. Поэтому таблица для угла 70° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 40° = 2 sin 20° cos 20° = 0,642788, cos 40° = cos² 20° − sin² 20° = 0,766044. Угол 40° разобран на отдельной странице. Если угол 20° отложить по часовой стрелке, получится −20°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−20°) = −0,34202, cos(−20°) = 0,939693.
20 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 20° = 20 · π/180 = π/9 рад ≈ 0,349066 рад. Это 0,0556 полного оборота, или 22,2222 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 20° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(20)), в JavaScript — Math.sin(20 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 20°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 20° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 20° = 4 · 0,3420 ≈ 1,37 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 20° ≈ 3,76 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 20° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 20° = 3 ÷ 0,3640 ≈ 8,24 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 20°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 20° = 9,81 · 0,3420 ≈ 3,36 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 20° ≈ 9,22 Н.
Уклон. Скат под углом 20° к горизонту — это уклон tg 20° × 100 ≈ 36,4 % (подробно — на странице «угол 20° в процентах»).
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
