Чему равен синус 5 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 5° эта точка — (0,9962; 0,0872), поэтому sin 5° ≈ 0,087156, а cos 5° ≈ 0,996195. Точной записи через квадратные корни у синуса 5 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,0872.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 5°: tg 5° ≈ 0,087489, ctg 5° ≈ 11,430052. Проверка по основному тождеству: sin² 5° + cos² 5° = 0,007596 + 0,992404 = 1.
cos 5° ≈ 0,996195
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 5° не кратен 3°, но утроенный угол 15° — «табличный»: sin 15° = (√6 − √2)/4. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 5° — корень кубического уравнения:
Вручную синус считают по ряду Тейлора sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − …, где x — угол в радианах. Для 5°: x = 0,087266; x³/6 = 0,00011076; x⁵/120 = 4,22 · 10⁻⁸. Сумма трёх членов — 0,08715574, точное значение — 0,08715574: разница меньше 10⁻¹⁰, то есть три члена дают восемь верных знаков.
Четверть и знаки
Угол 5° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 5° = cos 85°, cos 5° = sin 85°, tg 5° = ctg 85°. Поэтому таблица для угла 85° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 10° = 2 sin 5° cos 5° = 0,173648, cos 10° = cos² 5° − sin² 5° = 0,984808. Угол 10° разобран на отдельной странице. Если угол 5° отложить по часовой стрелке, получится −5°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−5°) = −0,087156, cos(−5°) = 0,996195.
5 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 5° = 5 · π/180 = π/36 рад ≈ 0,087266 рад. Это 0,0139 полного оборота, или 5,5556 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 5° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(5)), в JavaScript — Math.sin(5 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 5°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 5° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 5° = 4 · 0,0872 ≈ 0,35 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 5° ≈ 3,98 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 5° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 5° = 3 ÷ 0,0875 ≈ 34,29 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 5°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 5° = 9,81 · 0,0872 ≈ 0,85 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 5° ≈ 9,77 Н.
Уклон. Скат под углом 5° к горизонту — это уклон tg 5° × 100 ≈ 8,7 % (подробно — на странице «угол 5° в процентах»).
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
