Чему равен синус 25 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 25° эта точка — (0,9063; 0,4226), поэтому sin 25° ≈ 0,422618, а cos 25° ≈ 0,906308. Точной записи через квадратные корни у синуса 25 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,4226.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 25°: tg 25° ≈ 0,466308, ctg 25° ≈ 2,144507. Проверка по основному тождеству: sin² 25° + cos² 25° = 0,178606 + 0,821394 = 1.
cos 25° ≈ 0,906308
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 25° не кратен 3°, но утроенный угол 75° — «табличный»: sin 75° = (√6 + √2)/4. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 25° — корень кубического уравнения:
Вручную синус считают по ряду Тейлора sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − …, где x — угол в радианах. Для 25°: x = 0,436332; x³/6 = 0,01384525; x⁵/120 = 0,000131797. Сумма трёх членов — 0,42261886, точное значение — 0,42261826: разница 5,96 · 10⁻⁷ — чем больше угол, тем больше членов ряда нужно.
Четверть и знаки
Угол 25° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 25° = cos 65°, cos 25° = sin 65°, tg 25° = ctg 65°. Поэтому таблица для угла 65° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 50° = 2 sin 25° cos 25° = 0,766044, cos 50° = cos² 25° − sin² 25° = 0,642788. Угол 50° разобран на отдельной странице. Если угол 25° отложить по часовой стрелке, получится −25°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−25°) = −0,422618, cos(−25°) = 0,906308.
25 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 25° = 25 · π/180 = 5π/36 рад ≈ 0,436332 рад. Это 0,0694 полного оборота, или 27,7778 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 25° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(25)), в JavaScript — Math.sin(25 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 25°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 25° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 25° = 4 · 0,4226 ≈ 1,69 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 25° ≈ 3,63 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 25° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 25° = 3 ÷ 0,4663 ≈ 6,43 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 25°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 25° = 9,81 · 0,4226 ≈ 4,15 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 25° ≈ 8,89 Н.
Уклон. Скат под углом 25° к горизонту — это уклон tg 25° × 100 ≈ 46,6 % (подробно — на странице «угол 25° в процентах»).
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
