Чему равен синус 45 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 45° эта точка — (0,7071; 0,7071), поэтому sin 45° = √2/2 ≈ 0,707107, а cos 45° = √2/2 ≈ 0,707107. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 45°: tg 45° = 1, ctg 45° = 1. Проверка по основному тождеству: sin² 45° + cos² 45° = 0,5 + 0,5 = 1.
cos 45° = √2/2 ≈ 0,707107
Как получить значение
Возьмите равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 1: гипотенуза по теореме Пифагора — √2, оба острых угла — по 45°. sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2, а тангенс — отношение равных катетов, то есть 1.
Четверть и знаки
Угол 45° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Угол 45° дополняет сам себя до прямого, поэтому sin 45° = cos 45°, а tg 45° = ctg 45° = 1. Это единственный острый угол с таким свойством.
Функции двойного угла: sin 90° = 2 sin 45° cos 45° = 1, cos 90° = cos² 45° − sin² 45° = 0. Угол 90° разобран на отдельной странице. Если угол 45° отложить по часовой стрелке, получится −45°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−45°) = −0,707107, cos(−45°) = 0,707107.
45 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 45° = 45 · π/180 = π/4 рад ≈ 0,785398 рад. Это 0,125 полного оборота, или 50 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 45° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(45)), в JavaScript — Math.sin(45 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 45°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 45° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 45° = 4 · 0,7071 ≈ 2,83 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 45° ≈ 2,83 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 45° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 45° = 3 ÷ 1,0000 ≈ 3 м. При 45° тень равна высоте столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 45°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 45° = 9,81 · 0,7071 ≈ 6,94 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 45° ≈ 6,94 Н.
Уклон. Скат под углом 45° к горизонту — это уклон tg 45° × 100 ≈ 100 % (подробно — на странице «угол 45° в процентах»).
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
