Чему равен синус 40 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 40° эта точка — (0,7660; 0,6428), поэтому sin 40° ≈ 0,642788, а cos 40° ≈ 0,766044. Точной записи через квадратные корни у синуса 40 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,6428.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 40°: tg 40° ≈ 0,8391, ctg 40° ≈ 1,191754. Проверка по основному тождеству: sin² 40° + cos² 40° = 0,413176 + 0,586824 = 1.
cos 40° ≈ 0,766044
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 40° не кратен 3°, но утроенный угол 120° — «табличный»: sin 120° = √3/2. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 40° — корень кубического уравнения:
Вручную синус считают по ряду Тейлора sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − …, где x — угол в радианах. Для 40°: x = 0,698132; x³/6 = 0,05671015; x⁵/120 = 0,0013819921. Сумма трёх членов — 0,64280354, точное значение — 0,64278761: разница 1,59 · 10⁻⁵ — чем больше угол, тем больше членов ряда нужно.
Четверть и знаки
Угол 40° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 40° = cos 50°, cos 40° = sin 50°, tg 40° = ctg 50°. Поэтому таблица для угла 50° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 80° = 2 sin 40° cos 40° = 0,984808, cos 80° = cos² 40° − sin² 40° = 0,173648. Угол 80° разобран на отдельной странице. Если угол 40° отложить по часовой стрелке, получится −40°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−40°) = −0,642788, cos(−40°) = 0,766044.
40 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 40° = 40 · π/180 = 2π/9 рад ≈ 0,698132 рад. Это 0,1111 полного оборота, или 44,4444 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 40° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(40)), в JavaScript — Math.sin(40 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 40°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 40° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 40° = 4 · 0,6428 ≈ 2,57 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 40° ≈ 3,06 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 40° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 40° = 3 ÷ 0,8391 ≈ 3,58 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 40°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 40° = 9,81 · 0,6428 ≈ 6,31 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 40° ≈ 7,51 Н.
Уклон. Скат под углом 40° к горизонту — это уклон tg 40° × 100 ≈ 83,9 % (подробно — на странице «угол 40° в процентах»).
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
