Чему равен синус 72 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 72° эта точка — (0,3090; 0,9511), поэтому sin 72° = √(10 + 2√5)/4 ≈ 0,951057, а cos 72° = (√5 − 1)/4 ≈ 0,309017. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 72°: tg 72° = √(5 + 2√5) ≈ 3,077684, ctg 72° = √(25 − 10√5)/5 ≈ 0,32492. Проверка по основному тождеству: sin² 72° + cos² 72° = 0,904508 + 0,095492 = 1.
cos 72° = (√5 − 1)/4 ≈ 0,309017
Как получить значение
Угол 72° — центральный угол правильного пятиугольника (360° ÷ 5). cos 72° = sin 18° = (√5 − 1)/4.
Четверть и знаки
Угол 72° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 72° = cos 18°, cos 72° = sin 18°, tg 72° = ctg 18°. Поэтому таблица для угла 18° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 144° = 2 sin 72° cos 72° = 0,587785, cos 144° = cos² 72° − sin² 72° = −0,809017. Если угол 72° отложить по часовой стрелке, получится −72°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−72°) = −0,951057, cos(−72°) = 0,309017.
72 градуса в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 72° = 72 · π/180 = 2π/5 рад ≈ 1,256637 рад. Это 0,2 полного оборота, или 80 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 72° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(72)), в JavaScript — Math.sin(72 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 72°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 72° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 72° = 4 · 0,9511 ≈ 3,8 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 72° ≈ 1,24 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 72° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 72° = 3 ÷ 3,0777 ≈ 0,97 м. Солнце выше 45°, поэтому тень короче столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 72°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 72° = 9,81 · 0,9511 ≈ 9,33 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 72° ≈ 3,03 Н.
Уклон. Скат под углом 72° к горизонту — это уклон tg 72° × 100 ≈ 307,8 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
