Чему равен синус 54 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 54° эта точка — (0,5878; 0,8090), поэтому sin 54° = (1 + √5)/4 ≈ 0,809017, а cos 54° = √(10 − 2√5)/4 ≈ 0,587785. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 54°: tg 54° = √(25 + 10√5)/5 ≈ 1,376382, ctg 54° = √(5 − 2√5) ≈ 0,726543. Проверка по основному тождеству: sin² 54° + cos² 54° = 0,654508 + 0,345492 = 1.
cos 54° = √(10 − 2√5)/4 ≈ 0,587785
Как получить значение
Угол 54° дополняет 36° до прямого, поэтому sin 54° = cos 36° = (1 + √5)/4 — половина золотого сечения φ ≈ 1,618.
Четверть и знаки
Угол 54° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 54° = cos 36°, cos 54° = sin 36°, tg 54° = ctg 36°. Поэтому таблица для угла 36° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 108° = 2 sin 54° cos 54° = 0,951057, cos 108° = cos² 54° − sin² 54° = −0,309017. Если угол 54° отложить по часовой стрелке, получится −54°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−54°) = −0,809017, cos(−54°) = 0,587785.
54 градуса в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 54° = 54 · π/180 = 3π/10 рад ≈ 0,942478 рад. Это 0,15 полного оборота, или 60 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 54° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(54)), в JavaScript — Math.sin(54 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 54°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 54° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 54° = 4 · 0,8090 ≈ 3,24 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 54° ≈ 2,35 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 54° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 54° = 3 ÷ 1,3764 ≈ 2,18 м. Солнце выше 45°, поэтому тень короче столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 54°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 54° = 9,81 · 0,8090 ≈ 7,94 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 54° ≈ 5,77 Н.
Уклон. Скат под углом 54° к горизонту — это уклон tg 54° × 100 ≈ 137,6 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
