Чему равен синус 70 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 70° эта точка — (0,3420; 0,9397), поэтому sin 70° ≈ 0,939693, а cos 70° ≈ 0,34202. Точной записи через квадратные корни у синуса 70 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,9397.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 70°: tg 70° ≈ 2,747477, ctg 70° ≈ 0,36397. Проверка по основному тождеству: sin² 70° + cos² 70° = 0,883022 + 0,116978 = 1.
cos 70° ≈ 0,34202
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 70° не кратен 3°, но утроенный угол 210° — «табличный»: sin 210° = −1/2. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 70° — корень кубического уравнения:
Четверть и знаки
Угол 70° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 70° = cos 20°, cos 70° = sin 20°, tg 70° = ctg 20°. Поэтому таблица для угла 20° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 140° = 2 sin 70° cos 70° = 0,642788, cos 140° = cos² 70° − sin² 70° = −0,766044. Если угол 70° отложить по часовой стрелке, получится −70°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−70°) = −0,939693, cos(−70°) = 0,34202.
70 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 70° = 70 · π/180 = 7π/18 рад ≈ 1,22173 рад. Это 0,1944 полного оборота, или 77,7778 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 70° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(70)), в JavaScript — Math.sin(70 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 70°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 70° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 70° = 4 · 0,9397 ≈ 3,76 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 70° ≈ 1,37 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 70° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 70° = 3 ÷ 2,7475 ≈ 1,09 м. Солнце выше 45°, поэтому тень короче столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 70°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 70° = 9,81 · 0,9397 ≈ 9,22 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 70° ≈ 3,36 Н.
Уклон. Скат под углом 70° к горизонту — это уклон tg 70° × 100 ≈ 274,7 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
