Чему равен синус 65 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 65° эта точка — (0,4226; 0,9063), поэтому sin 65° ≈ 0,906308, а cos 65° ≈ 0,422618. Точной записи через квадратные корни у синуса 65 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,9063.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 65°: tg 65° ≈ 2,144507, ctg 65° ≈ 0,466308. Проверка по основному тождеству: sin² 65° + cos² 65° = 0,821394 + 0,178606 = 1.
cos 65° ≈ 0,422618
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 65° не кратен 3°, но утроенный угол 195° — «табличный»: sin 195° = −(√6 − √2)/4. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 65° — корень кубического уравнения:
Четверть и знаки
Угол 65° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 65° = cos 25°, cos 65° = sin 25°, tg 65° = ctg 25°. Поэтому таблица для угла 25° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 130° = 2 sin 65° cos 65° = 0,766044, cos 130° = cos² 65° − sin² 65° = −0,642788. Если угол 65° отложить по часовой стрелке, получится −65°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−65°) = −0,906308, cos(−65°) = 0,422618.
65 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 65° = 65 · π/180 = 13π/36 рад ≈ 1,134464 рад. Это 0,1806 полного оборота, или 72,2222 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 65° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(65)), в JavaScript — Math.sin(65 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 65°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 65° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 65° = 4 · 0,9063 ≈ 3,63 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 65° ≈ 1,69 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 65° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 65° = 3 ÷ 2,1445 ≈ 1,4 м. Солнце выше 45°, поэтому тень короче столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 65°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 65° = 9,81 · 0,9063 ≈ 8,89 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 65° ≈ 4,15 Н.
Уклон. Скат под углом 65° к горизонту — это уклон tg 65° × 100 ≈ 214,5 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
