Чему равен синус 18 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 18° эта точка — (0,9511; 0,3090), поэтому sin 18° = (√5 − 1)/4 ≈ 0,309017, а cos 18° = √(10 + 2√5)/4 ≈ 0,951057. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 18°: tg 18° = √(25 − 10√5)/5 ≈ 0,32492, ctg 18° = √(5 + 2√5) ≈ 3,077684. Проверка по основному тождеству: sin² 18° + cos² 18° = 0,095492 + 0,904508 = 1.
cos 18° = √(10 + 2√5)/4 ≈ 0,951057
Как получить значение
Угол 18° связан с правильным пятиугольником: для α = 18° верно sin 2α = cos 3α. Отсюда 4 sin²α + 2 sin α − 1 = 0 и sin 18° = (√5 − 1)/4 — половина обратного золотого сечения.
Четверть и знаки
Угол 18° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 18° = cos 72°, cos 18° = sin 72°, tg 18° = ctg 72°. Поэтому таблица для угла 72° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 36° = 2 sin 18° cos 18° = 0,587785, cos 36° = cos² 18° − sin² 18° = 0,809017. Угол 36° разобран на отдельной странице. Если угол 18° отложить по часовой стрелке, получится −18°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−18°) = −0,309017, cos(−18°) = 0,951057.
18 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 18° = 18 · π/180 = π/10 рад ≈ 0,314159 рад. Это 0,05 полного оборота, или 20 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 18° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(18)), в JavaScript — Math.sin(18 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 18°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 18° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 18° = 4 · 0,3090 ≈ 1,24 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 18° ≈ 3,8 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 18° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 18° = 3 ÷ 0,3249 ≈ 9,23 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 18°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 18° = 9,81 · 0,3090 ≈ 3,03 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 18° ≈ 9,33 Н.
Уклон. Скат под углом 18° к горизонту — это уклон tg 18° × 100 ≈ 32,5 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
