Чему равен синус 105 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 105° эта точка — (−0,2588; 0,9659), поэтому sin 105° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,965926, а cos 105° = −(√6 − √2)/4 ≈ −0,258819. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 105°: tg 105° = −2 − √3 ≈ −3,732051, ctg 105° = √3 − 2 ≈ −0,267949. Проверка по основному тождеству: sin² 105° + cos² 105° = 0,933013 + 0,066987 = 1.
cos 105° = −(√6 − √2)/4 ≈ −0,258819
Как получить значение
Угол 105° больше прямого, поэтому его сводят к острому углу 75° по формуле приведения: 105° = 180° − 75°. При переходе через 180° или 360° название функции сохраняется, а знак берут тот, какой у исходной функции во второй четверти. Получаем sin 105° = sin 75° = (√6 + √2)/4, cos 105° = −cos 75° = −(√6 − √2)/4.
Откуда берётся значение для 75°. Угол 75° — сумма 45° и 30°: sin 75° = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30° = (√6 + √2)/4.
Четверть и знаки
Угол 105° лежит во второй четверти (от 90° до 180°). Здесь синус положителен, косинус отрицателен, тангенс и котангенс отрицательны. Опорный острый угол — 75°: модули всех функций угла 105° совпадают с функциями 75°, подробно — на странице «синус 75 градусов».
Формулы приведения для 105°
Угол 105° можно записать двумя способами — через горизонтальную ось (180° − 75°) и через вертикальную (90° + 15°). В первом случае функция сохраняет название, во втором меняется на «кофункцию»: синус на косинус, тангенс на котангенс. Знак в обоих случаях — тот, какой у исходной функции во второй четверти. В школе это запоминают как «правило лошади»: у вертикальной оси (90°, 270°) голова кивает «да» — функция меняется, у горизонтальной (180°, 360°) качает «нет» — остаётся.
105 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 105° = 105 · π/180 = 7π/12 рад ≈ 1,832596 рад. Это 0,2917 полного оборота, или 116,6667 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 105° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(105)), в JavaScript — Math.sin(105 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 105°
Поворот точки. Точку на окружности радиусом 5 см с центром в начале координат повернули от оси Ox на 105° против часовой стрелки. Её координаты — x = 5 · cos 105° = −1,294 и y = 5 · sin 105° = 4,83. Так же поворачивают фигуры в компьютерной графике и считают положение стрелки прибора.
Проекции вектора. Сила 100 Н направлена под углом 105° к оси Ox. Её проекции на оси: Fx = 100 · cos 105° = −25,88 Н, Fy = 100 · sin 105° = 96,59 Н. Знаки проекций совпадают со знаками косинуса и синуса угла 105°.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
