Чему равен синус 75 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 75° эта точка — (0,2588; 0,9659), поэтому sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,965926, а cos 75° = (√6 − √2)/4 ≈ 0,258819. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 75°: tg 75° = 2 + √3 ≈ 3,732051, ctg 75° = 2 − √3 ≈ 0,267949. Проверка по основному тождеству: sin² 75° + cos² 75° = 0,933013 + 0,066987 = 1.
cos 75° = (√6 − √2)/4 ≈ 0,258819
Как получить значение
Угол 75° — сумма 45° и 30°: sin 75° = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30° = (√6 + √2)/4.
Четверть и знаки
Угол 75° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 75° = cos 15°, cos 75° = sin 15°, tg 75° = ctg 15°. Поэтому таблица для угла 15° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 150° = 2 sin 75° cos 75° = 0,5, cos 150° = cos² 75° − sin² 75° = −0,866025. Угол 150° разобран на отдельной странице. Если угол 75° отложить по часовой стрелке, получится −75°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−75°) = −0,965926, cos(−75°) = 0,258819.
75 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 75° = 75 · π/180 = 5π/12 рад ≈ 1,308997 рад. Это 0,2083 полного оборота, или 83,3333 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 75° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(75)), в JavaScript — Math.sin(75 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 75°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 75° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 75° = 4 · 0,9659 ≈ 3,86 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 75° ≈ 1,04 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 75° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 75° = 3 ÷ 3,7321 ≈ 0,8 м. Солнце выше 45°, поэтому тень короче столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 75°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 75° = 9,81 · 0,9659 ≈ 9,48 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 75° ≈ 2,54 Н.
Уклон. Скат под углом 75° к горизонту — это уклон tg 75° × 100 ≈ 373,2 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
