Корень из 15: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 15 такого целого числа нет: 3² = 9, а 4² = 16, поэтому √15 лежит между 3 и 4 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √15 ≈ 3,873. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √15 = 3,872…, третья цифра — 2, это меньше 5, поэтому её просто отбрасываем: √15 ≈ 3,87.
Как упростить корень из 15
Корень упрощается, только если под ним есть множитель — точный квадрат (4, 9, 16, 25…). Разложим 15: 15 = 3 · 5. Квадратных множителей, кроме 1, здесь нет. Поэтому √15 — уже простейшая форма, и в ответе пишут именно её. Такие числа называют свободными от квадратов.
Как вычислить корень из 15 без калькулятора
Быстрая оценка. √15 ≈ 3 + (15 − 9) / (2 · 3 + 1) = 3,8571. Настоящее значение — 3,873: ошибка 0,0158, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 4 — и повторяйте x → (x + 15 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 15: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √15 = [3; (1, 6)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √15 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 213/55 ≈ 3,872727 отличается от √15 всего на 0,000256 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √15
Квадрат площадью 15 м² имеет сторону √15 ≈ 3,87 м. Числа вида 4ᵃ(8b + 7) — а 15 именно такое — нельзя представить суммой трёх квадратов (теорема Лежандра), а значит, и суммой двух. Поэтому √15 не бывает диагональю прямоугольника или бруска с целыми сторонами. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√15 = √15/15 ≈ 0,258199 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √15 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
