Корень из 441 — это 21
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 441 это 21: 21 · 21 = 441. Число 441 — точный квадрат, поэтому корень из него целый. У уравнения x² = 441 есть и второй корень, −21, но знак √ по определению обозначает неотрицательный, арифметический корень.
Корень из 441 через разложение на множители
Разложите 441 на простые множители: 441 = 3² · 7². Все показатели чётные — это признак точного квадрата. Корень равен произведению тех же простых чисел с вдвое меньшими показателями: √441 = 3 · 7 = 21.
Как найти корень из 441 без калькулятора
По последней цифре. Квадрат числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. 441 оканчивается на 1, а на 1 заканчиваются квадраты чисел, оканчивающихся на 1 или 9. Дальше оценим десятки: 20² = 400 ≤ 441 < 900 = 30², значит, корень от 20 до 30. Кандидаты — 21 и 29. Какой из них? 25² = 625: 441 меньше, значит, корень меньше 25 — это 21.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — например, 22 — и повторяйте x → (x + 441 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 441: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Проверка и соседние квадраты
Чтобы проверить ответ, возведите его в квадрат: 21² = 21 · 21 = 441. Соседние точные квадраты — 20² = 400 и 22² = 484; между ними корни уже не целые: √440 ≈ 20,9762, √442 ≈ 21,0238. Разность соседних квадратов 484 − 441 = 43 = 2 · 21 + 1 — так быстро находят следующий квадрат, не умножая.
Где встречается √441
Квадрат площадью 441 м² имеет сторону √441 = 21 м. Число 441 = 4² + 5² + 20², поэтому √441 — диагональ прямоугольного бруска 4 × 5 × 20.
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √441 — целое число 21, а √440 и √442 уже иррациональны.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
