Корень из 841 — это 29
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 841 это 29: 29 · 29 = 841. Число 841 — точный квадрат, поэтому корень из него целый. У уравнения x² = 841 есть и второй корень, −29, но знак √ по определению обозначает неотрицательный, арифметический корень.
Корень из 841 через разложение на множители
Разложите 841 на простые множители: 841 = 29². Все показатели чётные — это признак точного квадрата. Корень равен произведению тех же простых чисел с вдвое меньшими показателями: √841 = 29 = 29.
Как найти корень из 841 без калькулятора
По последней цифре. Квадрат числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. 841 оканчивается на 1, а на 1 заканчиваются квадраты чисел, оканчивающихся на 1 или 9. Дальше оценим десятки: 20² = 400 ≤ 841 < 900 = 30², значит, корень от 20 до 30. Кандидаты — 21 и 29. Какой из них? 25² = 625: 841 больше, значит, корень больше 25 — это 29.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — например, 30 — и повторяйте x → (x + 841 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 841: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Проверка и соседние квадраты
Чтобы проверить ответ, возведите его в квадрат: 29² = 29 · 29 = 841. Соседние точные квадраты — 28² = 784 и 30² = 900; между ними корни уже не целые: √840 ≈ 28,9828, √842 ≈ 29,0172. Разность соседних квадратов 900 − 841 = 59 = 2 · 29 + 1 — так быстро находят следующий квадрат, не умножая.
Где встречается √841
Квадрат площадью 841 м² имеет сторону √841 = 29 м. Число 841 = 20² + 21², поэтому √841 — диагональ прямоугольника 20 × 21 по теореме Пифагора: d = √(20² + 21²) = √841 = 29.
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √841 — целое число 29, а √840 и √842 уже иррациональны.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
