Корень из 7: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 7 такого целого числа нет: 2² = 4, а 3² = 9, поэтому √7 лежит между 2 и 3 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √7 ≈ 2,646. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √7 = 2,645…, третья цифра — 5, это 5 или больше, поэтому вторую цифру увеличиваем: √7 ≈ 2,65.
Как упростить корень из 7
Корень упрощается, только если под ним есть множитель — точный квадрат (4, 9, 16, 25…). 7 — простое число, у него нет делителей, кроме 1 и самого себя, а значит, и квадратных множителей. Поэтому √7 — уже простейшая форма, и в ответе пишут именно её. Такие числа называют свободными от квадратов.
Как вычислить корень из 7 без калькулятора
Быстрая оценка. √7 ≈ 2 + (7 − 4) / (2 · 2 + 1) = 2,6. Настоящее значение — 2,6458: ошибка 0,0458, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 3 — и повторяйте x → (x + 7 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 7: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √7 = [2; (1, 1, 1, 4)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √7 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 82/31 ≈ 2,645161 отличается от √7 всего на 0,00059 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √7
Квадрат площадью 7 м² имеет сторону √7 ≈ 2,65 м. Числа вида 4ᵃ(8b + 7) — а 7 именно такое — нельзя представить суммой трёх квадратов (теорема Лежандра), а значит, и суммой двух. Поэтому √7 не бывает диагональю прямоугольника или бруска с целыми сторонами. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√7 = √7/7 ≈ 0,377964 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √7 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
