Корень из 625 = 25

Корень из 625 — это 25

Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 625 это 25: 25 · 25 = 625. Число 625 — точный квадрат, поэтому корень из него целый. У уравнения x² = 625 есть и второй корень, −25, но знак √ по определению обозначает неотрицательный, арифметический корень.

Корень из 625 через разложение на множители

Разложите 625 на простые множители: 625 = 5⁴. Все показатели чётные — это признак точного квадрата. Корень равен произведению тех же простых чисел с вдвое меньшими показателями: √625 = 5² = 25.

Как найти корень из 625 без калькулятора

По последней цифре. Квадрат числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. 625 оканчивается на 5, а на 5 заканчиваются квадраты чисел, оканчивающихся на 5. Дальше оценим десятки: 20² = 400 ≤ 625 < 900 = 30², значит, корень от 20 до 30. Кандидат один — 25, это и есть корень.

Метод Герона. Возьмите любое приближение x — например, 26 — и повторяйте x → (x + 625 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:

Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 625: он сходится быстро и требует только сложения и деления.

Проверка и соседние квадраты

Чтобы проверить ответ, возведите его в квадрат: 25² = 25 · 25 = 625. Соседние точные квадраты — 24² = 576 и 26² = 676; между ними корни уже не целые: √624 ≈ 24,98, √626 ≈ 25,02. Разность соседних квадратов 676 − 625 = 51 = 2 · 25 + 1 — так быстро находят следующий квадрат, не умножая.

Где встречается √625

Квадрат площадью 625 м² имеет сторону √625 = 25 м. Число 625 = 7² + 24², поэтому √625 — диагональ прямоугольника 7 × 24 по теореме Пифагора: d = √(7² + 24²) = √625 = 25.

Корни соседних чисел

Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.

Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √625 — целое число 25, а √624 и √626 уже иррациональны.— Правило