Корень из 784 — это 28
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 784 это 28: 28 · 28 = 784. Число 784 — точный квадрат, поэтому корень из него целый. У уравнения x² = 784 есть и второй корень, −28, но знак √ по определению обозначает неотрицательный, арифметический корень.
Корень из 784 через разложение на множители
Разложите 784 на простые множители: 784 = 2⁴ · 7². Все показатели чётные — это признак точного квадрата. Корень равен произведению тех же простых чисел с вдвое меньшими показателями: √784 = 2² · 7 = 28.
Как найти корень из 784 без калькулятора
По последней цифре. Квадрат числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. 784 оканчивается на 4, а на 4 заканчиваются квадраты чисел, оканчивающихся на 2 или 8. Дальше оценим десятки: 20² = 400 ≤ 784 < 900 = 30², значит, корень от 20 до 30. Кандидаты — 22 и 28. Какой из них? 25² = 625: 784 больше, значит, корень больше 25 — это 28.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — например, 29 — и повторяйте x → (x + 784 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 784: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Проверка и соседние квадраты
Чтобы проверить ответ, возведите его в квадрат: 28² = 28 · 28 = 784. Соседние точные квадраты — 27² = 729 и 29² = 841; между ними корни уже не целые: √783 ≈ 27,9821, √785 ≈ 28,0179. Разность соседних квадратов 841 − 784 = 57 = 2 · 28 + 1 — так быстро находят следующий квадрат, не умножая.
Где встречается √784
Квадрат площадью 784 м² имеет сторону √784 = 28 м. Число 784 = 8² + 12² + 24², поэтому √784 — диагональ прямоугольного бруска 8 × 12 × 24.
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √784 — целое число 28, а √783 и √785 уже иррациональны.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
