Корень из 3: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 3 такого целого числа нет: 1² = 1, а 2² = 4, поэтому √3 лежит между 1 и 2 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √3 ≈ 1,732. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √3 = 1,732…, третья цифра — 2, это меньше 5, поэтому её просто отбрасываем: √3 ≈ 1,73.
Как упростить корень из 3
Корень упрощается, только если под ним есть множитель — точный квадрат (4, 9, 16, 25…). 3 — простое число, у него нет делителей, кроме 1 и самого себя, а значит, и квадратных множителей. Поэтому √3 — уже простейшая форма, и в ответе пишут именно её. Такие числа называют свободными от квадратов.
Как вычислить корень из 3 без калькулятора
Быстрая оценка. √3 ≈ 1 + (3 − 1) / (2 · 1 + 1) = 1,6667. Настоящее значение — 1,7321: ошибка 0,0654, для таких маленьких чисел оценка грубая — точнее метод Герона ниже.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 2 — и повторяйте x → (x + 3 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 3: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √3 = [1; (1, 2)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √3 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 71/41 ≈ 1,731707 отличается от √3 всего на 0,000343 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √3
Квадрат площадью 3 м² имеет сторону √3 ≈ 1,73 м. Число 3 = 1² + 1² + 1², поэтому √3 — диагональ куба с ребром 1. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√3 = √3/3 ≈ 0,57735 — это «избавление от иррациональности».
√3 — высота равностороннего треугольника со стороной 2 и диагональ куба с ребром 1. В тригонометрии tg 60° = √3, а sin 60° = √3/2 (синус 60 градусов).
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √3 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
