Корень из 27: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 27 такого целого числа нет: 5² = 25, а 6² = 36, поэтому √27 лежит между 5 и 6 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, предварительно упростив до 3√3, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √27 ≈ 5,196. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √27 = 5,196…, третья цифра — 6, это 5 или больше, поэтому вторую цифру увеличиваем: √27 ≈ 5,20.
Как упростить корень из 27
Упростить корень — значит вынести из-под него множитель, который является точным квадратом. Разложим 27 на простые множители: 27 = 3³. Наибольший квадрат среди делителей — 9 = 3², и 27 = 9 · 3. Дальше по свойству √(a·b) = √a · √b:
Под корнем осталось 3 — число без квадратных делителей, дальше упрощать нечего. Запись 3√3 удобнее: её легко складывать с подобными корнями (например, 3√3 + √3 = 4√3) и сравнивать.
Как вычислить корень из 27 без калькулятора
Быстрая оценка. √27 ≈ 5 + (27 − 25) / (2 · 5 + 1) = 5,1818. Настоящее значение — 5,1962: ошибка 0,0143, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 5 — и повторяйте x → (x + 27 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 27: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √27 = [5; (5, 10)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √27 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 265/51 ≈ 5,196078 отличается от √27 всего на 0,000074 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √27
Квадрат площадью 27 м² имеет сторону √27 ≈ 5,2 м. Число 27 = 1² + 1² + 5², поэтому √27 — диагональ прямоугольного бруска 1 × 1 × 5. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√27 = √27/27 ≈ 0,19245 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √27 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
