Корень из 2: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 2 такого целого числа нет: 1² = 1, а 2² = 4, поэтому √2 лежит между 1 и 2 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √2 ≈ 1,414. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √2 = 1,414…, третья цифра — 4, это меньше 5, поэтому её просто отбрасываем: √2 ≈ 1,41.
Как упростить корень из 2
Корень упрощается, только если под ним есть множитель — точный квадрат (4, 9, 16, 25…). 2 — простое число, у него нет делителей, кроме 1 и самого себя, а значит, и квадратных множителей. Поэтому √2 — уже простейшая форма, и в ответе пишут именно её. Такие числа называют свободными от квадратов.
Как вычислить корень из 2 без калькулятора
Быстрая оценка. √2 ≈ 1 + (2 − 1) / (2 · 1 + 1) = 1,3333. Настоящее значение — 1,4142: ошибка 0,0809, для таких маленьких чисел оценка грубая — точнее метод Герона ниже.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 1 — и повторяйте x → (x + 2 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 2: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √2 = [1; (2)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √2 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 41/29 ≈ 1,413793 отличается от √2 всего на 0,00042 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √2
Квадрат площадью 2 м² имеет сторону √2 ≈ 1,41 м. Число 2 = 1² + 1², поэтому √2 — диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора: d = √(1² + 1²) = √2. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√2 = √2/2 ≈ 0,707107 — это «избавление от иррациональности».
Стороны листов А4, А3 и всех форматов ряда А относятся как 1 : √2 (с округлением до миллиметра: 297 / 210 ≈ 1,414): только при такой пропорции лист, разрезанный пополам поперёк длинной стороны, подобен целому (подробно — на странице «Форматы бумаги»). Ещё √2 появляется в тригонометрии: sin 45° = cos 45° = √2/2 (синус 45 градусов).
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √2 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
