Корень из 169 — это 13
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 169 это 13: 13 · 13 = 169. Число 169 — точный квадрат, поэтому корень из него целый. У уравнения x² = 169 есть и второй корень, −13, но знак √ по определению обозначает неотрицательный, арифметический корень.
Корень из 169 через разложение на множители
Разложите 169 на простые множители: 169 = 13². Все показатели чётные — это признак точного квадрата. Корень равен произведению тех же простых чисел с вдвое меньшими показателями: √169 = 13 = 13.
Как найти корень из 169 без калькулятора
По последней цифре. Квадрат числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. 169 оканчивается на 9, а на 9 заканчиваются квадраты чисел, оканчивающихся на 3 или 7. Дальше оценим десятки: 10² = 100 ≤ 169 < 400 = 20², значит, корень от 10 до 20. Кандидаты — 13 и 17. Какой из них? 15² = 225: 169 меньше, значит, корень меньше 15 — это 13.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — например, 14 — и повторяйте x → (x + 169 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 169: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Проверка и соседние квадраты
Чтобы проверить ответ, возведите его в квадрат: 13² = 13 · 13 = 169. Соседние точные квадраты — 12² = 144 и 14² = 196; между ними корни уже не целые: √168 ≈ 12,9615, √170 ≈ 13,0384. Разность соседних квадратов 196 − 169 = 27 = 2 · 13 + 1 — так быстро находят следующий квадрат, не умножая.
Где встречается √169
Квадрат площадью 169 м² имеет сторону √169 = 13 м. Число 169 = 5² + 12², поэтому √169 — диагональ прямоугольника 5 × 12 по теореме Пифагора: d = √(5² + 12²) = √169 = 13.
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √169 — целое число 13, а √168 и √170 уже иррациональны.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
