Корень из 289 — это 17
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 289 это 17: 17 · 17 = 289. Число 289 — точный квадрат, поэтому корень из него целый. У уравнения x² = 289 есть и второй корень, −17, но знак √ по определению обозначает неотрицательный, арифметический корень.
Корень из 289 через разложение на множители
Разложите 289 на простые множители: 289 = 17². Все показатели чётные — это признак точного квадрата. Корень равен произведению тех же простых чисел с вдвое меньшими показателями: √289 = 17 = 17.
Как найти корень из 289 без калькулятора
По последней цифре. Квадрат числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. 289 оканчивается на 9, а на 9 заканчиваются квадраты чисел, оканчивающихся на 3 или 7. Дальше оценим десятки: 10² = 100 ≤ 289 < 400 = 20², значит, корень от 10 до 20. Кандидаты — 13 и 17. Какой из них? 15² = 225: 289 больше, значит, корень больше 15 — это 17.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — например, 18 — и повторяйте x → (x + 289 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 289: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Проверка и соседние квадраты
Чтобы проверить ответ, возведите его в квадрат: 17² = 17 · 17 = 289. Соседние точные квадраты — 16² = 256 и 18² = 324; между ними корни уже не целые: √288 ≈ 16,9706, √290 ≈ 17,0294. Разность соседних квадратов 324 − 289 = 35 = 2 · 17 + 1 — так быстро находят следующий квадрат, не умножая.
Где встречается √289
Квадрат площадью 289 м² имеет сторону √289 = 17 м. Число 289 = 8² + 15², поэтому √289 — диагональ прямоугольника 8 × 15 по теореме Пифагора: d = √(8² + 15²) = √289 = 17.
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √289 — целое число 17, а √288 и √290 уже иррациональны.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
