Корень из 20: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 20 такого целого числа нет: 4² = 16, а 5² = 25, поэтому √20 лежит между 4 и 5 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, предварительно упростив до 2√5, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √20 ≈ 4,472. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √20 = 4,472…, третья цифра — 2, это меньше 5, поэтому её просто отбрасываем: √20 ≈ 4,47.
Как упростить корень из 20
Упростить корень — значит вынести из-под него множитель, который является точным квадратом. Разложим 20 на простые множители: 20 = 2² · 5. Наибольший квадрат среди делителей — 4 = 2², и 20 = 4 · 5. Дальше по свойству √(a·b) = √a · √b:
Под корнем осталось 5 — число без квадратных делителей, дальше упрощать нечего. Запись 2√5 удобнее: её легко складывать с подобными корнями (например, 2√5 + √5 = 3√5) и сравнивать.
Как вычислить корень из 20 без калькулятора
Быстрая оценка. √20 ≈ 4 + (20 − 16) / (2 · 4 + 1) = 4,4444. Настоящее значение — 4,4721: ошибка 0,0277, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 4 — и повторяйте x → (x + 20 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 20: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √20 = [4; (2, 8)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √20 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 161/36 ≈ 4,472222 отличается от √20 всего на 0,000086 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √20
Квадрат площадью 20 м² имеет сторону √20 ≈ 4,47 м. Число 20 = 2² + 4², поэтому √20 — диагональ прямоугольника 2 × 4 по теореме Пифагора: d = √(2² + 4²) = √20. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√20 = √20/20 ≈ 0,223607 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √20 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
