Корень из 72: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 72 такого целого числа нет: 8² = 64, а 9² = 81, поэтому √72 лежит между 8 и 9 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, предварительно упростив до 6√2, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √72 ≈ 8,485. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √72 = 8,485…, третья цифра — 5, это 5 или больше, поэтому вторую цифру увеличиваем: √72 ≈ 8,49.
Как упростить корень из 72
Упростить корень — значит вынести из-под него множитель, который является точным квадратом. Разложим 72 на простые множители: 72 = 2³ · 3². Наибольший квадрат среди делителей — 36 = 6², и 72 = 36 · 2. Дальше по свойству √(a·b) = √a · √b:
Под корнем осталось 2 — число без квадратных делителей, дальше упрощать нечего. Запись 6√2 удобнее: её легко складывать с подобными корнями (например, 6√2 + √2 = 7√2) и сравнивать.
Как вычислить корень из 72 без калькулятора
Быстрая оценка. √72 ≈ 8 + (72 − 64) / (2 · 8 + 1) = 8,4706. Настоящее значение — 8,4853: ошибка 0,0147, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 8 — и повторяйте x → (x + 72 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 72: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √72 = [8; (2, 16)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √72 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 280/33 ≈ 8,484848 отличается от √72 всего на 0,000433 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √72
Квадрат площадью 72 м² имеет сторону √72 ≈ 8,49 м. Число 72 = 6² + 6², поэтому √72 — диагональ квадрата со стороной 6 по теореме Пифагора: d = √(6² + 6²) = √72. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√72 = √72/72 ≈ 0,117851 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √72 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
