Корень из 729 — это 27
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 729 это 27: 27 · 27 = 729. Число 729 — точный квадрат, поэтому корень из него целый. У уравнения x² = 729 есть и второй корень, −27, но знак √ по определению обозначает неотрицательный, арифметический корень.
Корень из 729 через разложение на множители
Разложите 729 на простые множители: 729 = 3⁶. Все показатели чётные — это признак точного квадрата. Корень равен произведению тех же простых чисел с вдвое меньшими показателями: √729 = 3³ = 27.
Как найти корень из 729 без калькулятора
По последней цифре. Квадрат числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. 729 оканчивается на 9, а на 9 заканчиваются квадраты чисел, оканчивающихся на 3 или 7. Дальше оценим десятки: 20² = 400 ≤ 729 < 900 = 30², значит, корень от 20 до 30. Кандидаты — 23 и 27. Какой из них? 25² = 625: 729 больше, значит, корень больше 25 — это 27.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — например, 28 — и повторяйте x → (x + 729 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 729: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Проверка и соседние квадраты
Чтобы проверить ответ, возведите его в квадрат: 27² = 27 · 27 = 729. Соседние точные квадраты — 26² = 676 и 28² = 784; между ними корни уже не целые: √728 ≈ 26,9815, √730 ≈ 27,0185. Разность соседних квадратов 784 − 729 = 55 = 2 · 27 + 1 — так быстро находят следующий квадрат, не умножая.
Где встречается √729
Квадрат площадью 729 м² имеет сторону √729 = 27 м. Число 729 = 2² + 7² + 26², поэтому √729 — диагональ прямоугольного бруска 2 × 7 × 26.
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √729 — целое число 27, а √728 и √730 уже иррациональны.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
