Корень из 98: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 98 такого целого числа нет: 9² = 81, а 10² = 100, поэтому √98 лежит между 9 и 10 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, предварительно упростив до 7√2, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √98 ≈ 9,899. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √98 = 9,899…, третья цифра — 9, это 5 или больше, поэтому вторую цифру увеличиваем: √98 ≈ 9,90.
Как упростить корень из 98
Упростить корень — значит вынести из-под него множитель, который является точным квадратом. Разложим 98 на простые множители: 98 = 2 · 7². Наибольший квадрат среди делителей — 49 = 7², и 98 = 49 · 2. Дальше по свойству √(a·b) = √a · √b:
Под корнем осталось 2 — число без квадратных делителей, дальше упрощать нечего. Запись 7√2 удобнее: её легко складывать с подобными корнями (например, 7√2 + √2 = 8√2) и сравнивать.
Как вычислить корень из 98 без калькулятора
Быстрая оценка. √98 ≈ 9 + (98 − 81) / (2 · 9 + 1) = 9,8947. Настоящее значение — 9,8995: ошибка 0,0048, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 10 — и повторяйте x → (x + 98 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 98: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √98 = [9; (1, 8, 1, 18)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √98 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 99/10 ≈ 9,9 отличается от √98 всего на 0,000505 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √98
Квадрат площадью 98 м² имеет сторону √98 ≈ 9,9 м. Число 98 = 7² + 7², поэтому √98 — диагональ квадрата со стороной 7 по теореме Пифагора: d = √(7² + 7²) = √98. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√98 = √98/98 ≈ 0,101015 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √98 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
