Корень из 256 — это 16
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 256 это 16: 16 · 16 = 256. Число 256 — точный квадрат, поэтому корень из него целый. У уравнения x² = 256 есть и второй корень, −16, но знак √ по определению обозначает неотрицательный, арифметический корень.
Корень из 256 через разложение на множители
Разложите 256 на простые множители: 256 = 2⁸. Все показатели чётные — это признак точного квадрата. Корень равен произведению тех же простых чисел с вдвое меньшими показателями: √256 = 2⁴ = 16.
Как найти корень из 256 без калькулятора
По последней цифре. Квадрат числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. 256 оканчивается на 6, а на 6 заканчиваются квадраты чисел, оканчивающихся на 4 или 6. Дальше оценим десятки: 10² = 100 ≤ 256 < 400 = 20², значит, корень от 10 до 20. Кандидаты — 14 и 16. Какой из них? 15² = 225: 256 больше, значит, корень больше 15 — это 16.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — например, 17 — и повторяйте x → (x + 256 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 256: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Проверка и соседние квадраты
Чтобы проверить ответ, возведите его в квадрат: 16² = 16 · 16 = 256. Соседние точные квадраты — 15² = 225 и 17² = 289; между ними корни уже не целые: √255 ≈ 15,9687, √257 ≈ 16,0312. Разность соседних квадратов 289 − 256 = 33 = 2 · 16 + 1 — так быстро находят следующий квадрат, не умножая.
Где встречается √256
Квадрат площадью 256 м² имеет сторону √256 = 16 м. Суммой двух или трёх квадратов натуральных чисел 256 не записать: у степеней четвёрки (4, 16, 64, 256…) таких разложений нет, только 16² + 0². Зато 256 = 8² + 8² + 8² + 8² — по теореме Лагранжа суммой четырёх квадратов записывается любое натуральное число.
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √256 — целое число 16, а √255 и √257 уже иррациональны.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
