Корень из 48: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 48 такого целого числа нет: 6² = 36, а 7² = 49, поэтому √48 лежит между 6 и 7 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, предварительно упростив до 4√3, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √48 ≈ 6,928. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √48 = 6,928…, третья цифра — 8, это 5 или больше, поэтому вторую цифру увеличиваем: √48 ≈ 6,93.
Как упростить корень из 48
Упростить корень — значит вынести из-под него множитель, который является точным квадратом. Разложим 48 на простые множители: 48 = 2⁴ · 3. Наибольший квадрат среди делителей — 16 = 4², и 48 = 16 · 3. Дальше по свойству √(a·b) = √a · √b:
Под корнем осталось 3 — число без квадратных делителей, дальше упрощать нечего. Запись 4√3 удобнее: её легко складывать с подобными корнями (например, 4√3 + √3 = 5√3) и сравнивать.
Как вычислить корень из 48 без калькулятора
Быстрая оценка. √48 ≈ 6 + (48 − 36) / (2 · 6 + 1) = 6,9231. Настоящее значение — 6,9282: ошибка 0,0051, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 7 — и повторяйте x → (x + 48 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 48: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √48 = [6; (1, 12)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √48 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 97/14 ≈ 6,928571 отличается от √48 всего на 0,000368 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √48
Квадрат площадью 48 м² имеет сторону √48 ≈ 6,93 м. Число 48 = 4² + 4² + 4², поэтому √48 — диагональ куба с ребром 4. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√48 = √48/48 ≈ 0,144338 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √48 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
