Корень из 75: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 75 такого целого числа нет: 8² = 64, а 9² = 81, поэтому √75 лежит между 8 и 9 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, предварительно упростив до 5√3, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √75 ≈ 8,66. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √75 = 8,660…, третья цифра — 0, это меньше 5, поэтому её просто отбрасываем: √75 ≈ 8,66.
Как упростить корень из 75
Упростить корень — значит вынести из-под него множитель, который является точным квадратом. Разложим 75 на простые множители: 75 = 3 · 5². Наибольший квадрат среди делителей — 25 = 5², и 75 = 25 · 3. Дальше по свойству √(a·b) = √a · √b:
Под корнем осталось 3 — число без квадратных делителей, дальше упрощать нечего. Запись 5√3 удобнее: её легко складывать с подобными корнями (например, 5√3 + √3 = 6√3) и сравнивать.
Как вычислить корень из 75 без калькулятора
Быстрая оценка. √75 ≈ 8 + (75 − 64) / (2 · 8 + 1) = 8,6471. Настоящее значение — 8,6603: ошибка 0,0132, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 9 — и повторяйте x → (x + 75 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 75: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √75 = [8; (1, 1, 1, 16)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √75 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 433/50 ≈ 8,66 отличается от √75 всего на 0,000254 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √75
Квадрат площадью 75 м² имеет сторону √75 ≈ 8,66 м. Число 75 = 1² + 5² + 7², поэтому √75 — диагональ прямоугольного бруска 1 × 5 × 7. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√75 = √75/75 ≈ 0,11547 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √75 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
