Корень из 18: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 18 такого целого числа нет: 4² = 16, а 5² = 25, поэтому √18 лежит между 4 и 5 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, предварительно упростив до 3√2, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √18 ≈ 4,243. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √18 = 4,242…, третья цифра — 2, это меньше 5, поэтому её просто отбрасываем: √18 ≈ 4,24.
Как упростить корень из 18
Упростить корень — значит вынести из-под него множитель, который является точным квадратом. Разложим 18 на простые множители: 18 = 2 · 3². Наибольший квадрат среди делителей — 9 = 3², и 18 = 9 · 2. Дальше по свойству √(a·b) = √a · √b:
Под корнем осталось 2 — число без квадратных делителей, дальше упрощать нечего. Запись 3√2 удобнее: её легко складывать с подобными корнями (например, 3√2 + √2 = 4√2) и сравнивать.
Как вычислить корень из 18 без калькулятора
Быстрая оценка. √18 ≈ 4 + (18 − 16) / (2 · 4 + 1) = 4,2222. Настоящее значение — 4,2426: ошибка 0,0204, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 4 — и повторяйте x → (x + 18 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 18: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √18 = [4; (4, 8)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √18 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 140/33 ≈ 4,242424 отличается от √18 всего на 0,000216 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √18
Квадрат площадью 18 м² имеет сторону √18 ≈ 4,24 м. Число 18 = 3² + 3², поэтому √18 — диагональ квадрата со стороной 3 по теореме Пифагора: d = √(3² + 3²) = √18. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√18 = √18/18 ≈ 0,235702 — это «избавление от иррациональности».
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √18 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
