Корень из 5: десятичная запись
Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для 5 такого целого числа нет: 2² = 4, а 3² = 9, поэтому √5 лежит между 2 и 3 и выражается бесконечной непериодической дробью. В ответах школьных задач его оставляют под знаком корня, а в практических расчётах округляют.
Для инженерных расчётов обычно хватает трёх–четырёх знаков: √5 ≈ 2,236. Округляют по первой отбрасываемой цифре: до двух знаков √5 = 2,236…, третья цифра — 6, это 5 или больше, поэтому вторую цифру увеличиваем: √5 ≈ 2,24.
Как упростить корень из 5
Корень упрощается, только если под ним есть множитель — точный квадрат (4, 9, 16, 25…). 5 — простое число, у него нет делителей, кроме 1 и самого себя, а значит, и квадратных множителей. Поэтому √5 — уже простейшая форма, и в ответе пишут именно её. Такие числа называют свободными от квадратов.
Как вычислить корень из 5 без калькулятора
Быстрая оценка. √5 ≈ 2 + (5 − 4) / (2 · 2 + 1) = 2,2. Настоящее значение — 2,2361: ошибка 0,0361, для прикидки в уме этого хватает.
Метод Герона. Возьмите любое приближение x — удобно ближайшее целое, 2 — и повторяйте x → (x + 5 / x) / 2. Каждый шаг примерно удваивает число верных знаков:
Метод Герона — частный случай метода Ньютона для уравнения x² = 5: он сходится быстро и требует только сложения и деления.
Приближение дробью
Корень из натурального числа, не являющегося квадратом, раскладывается в периодическую цепную дробь: √5 = [2; (4)]. Обрывая её, получают подходящие дроби — лучшие приближения √5 среди дробей с таким же или меньшим знаменателем:
Например, 38/17 ≈ 2,235294 отличается от √5 всего на 0,000774 — для разметки и черчения без калькулятора этого достаточно.
Где встречается √5
Квадрат площадью 5 м² имеет сторону √5 ≈ 2,24 м. Число 5 = 1² + 2², поэтому √5 — диагональ прямоугольника 1 × 2 по теореме Пифагора: d = √(1² + 2²) = √5. В формулах корень часто стоит в знаменателе: 1/√5 = √5/5 ≈ 0,447214 — это «избавление от иррациональности».
Через √5 записывается золотое сечение: φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 (калькулятор золотого сечения). Оно же даёт точные синусы углов правильного пятиугольника — например, sin 18° = (√5 − 1)/4 (синус 18 градусов).
Корни соседних чисел
Корни всех чисел от 1 до 100 собраны в таблице на странице калькулятора квадратного корня, а квадраты двузначных чисел — в таблице квадратов.
Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный — третьего не дано. Поэтому √5 нельзя записать обыкновенной дробью — только приблизить.— Правило
- Алгебра. 8 класс — арифметический квадратный корень, иррациональные числа, вынесение множителя из-под знака корня. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и другие. Школьный учебник.
- Метрика — способ последовательных приближений для извлечения квадратного корня. Герон Александрийский. I век н. э..
- Цепные дроби — периодичность разложения квадратичных иррациональностей. А. Я. Хинчин. Москва, Наука (первое издание — 1935 г.).
